分散（Variance）
データが平均からどれだけ散らばっているかを表す指標（偏差の二乗の平均）
📌分散とは
分散（variance）とは、データが平均からどれだけ散らばっているかを表す指標です。記号は σ²（シグマの二乗）。値が大きいほどデータが平均から離れて広がっている、値が小さいほど平均周辺に集中していることを意味します。
身近な例で言うと、A クラスの平均点 60、B クラスの平均点 60でも、A は全員が 55〜65 点に集まっていて、B は 20〜100 点でバラバラだとしたら、両クラスの「学力の様子」はまったく違います。平均だけでは見えない「ばらつき」を数値化するのが分散の役割です。
具体例 データ {50, 50, 50, 50, 50} の分散は 0（全員同じだから散らばりゼロ）。一方 {10, 30, 50, 70, 90} の分散は 800（平均は同じ 50 だが大きく散らばっている）。
📐計算式の意味
σ² = Σ(x − μ)² / n
式を分解すると、計算手順は次の 4 ステップです。
・① 偏差を求める：各データ x から平均 μ を引く（x − μ）
・② 偏差を二乗する：(x − μ)²（符号を消す）
・③ 全データで合計する：Σ(x − μ)²（偏差二乗和）
・④ n で割る（平均する）：分散 σ²
具体例：データ {40, 50, 60} の分散
平均 μ = (40+50+60)/3 = 50
偏差: 40−50 = −10、50−50 = 0、60−50 = 10
二乗: 100、0、100
合計: 200
分散: 200 ÷ 3 ≈ 66.67
n と n−1 の使い分け
・データそのもの全体を扱うとき（母分散）：n で割る
・サンプルから母集団を推定するとき（不偏分散・標本分散）：n−1 で割る
「母集団の標準偏差」を求める場合は n で、「サンプルから推定」する場合は n−1 を使います。
🔍二乗する理由
よくある質問は「なぜ偏差を二乗するの？」というもの。理由は次の通りです。
① 符号を消すため
平均より大きい値は 正の偏差、小さい値は 負の偏差になります。これらをそのまま足すと、プラスとマイナスが打ち消し合って合計は必ず 0 になってしまい、散らばりの大きさが測れません。二乗すると常に正になるので、相殺が起きません。
② 絶対値ではなく二乗を使う理由
符号を消すだけなら絶対値 |x − μ| でもよさそうですが、絶対値は微分しにくく、数学的に扱いづらい問題があります。一方、二乗関数はなめらかで微分しやすいため、統計理論や最小二乗法・回帰分析・正規分布などの多くの場面で使いやすく、結果として「二乗で散らばりを測る」のが標準的になっています。
③ 大きなズレを強調できる
二乗すると、偏差が 2 倍なら効果は 4 倍、3 倍なら 9 倍と、大きく外れた値の影響が強調されます。「外れ値があると分散が一気に大きくなる」のはこのため。これにより、データの不安定さやリスクを敏感に表現できます。
欠点 二乗するせいで、分散の単位はもとデータの「単位の二乗」になってしまいます（例: 点数なら「点²」）。これを直すために、平方根を取った標準偏差（σ）がよく使われます。
