M/M/1モデル（待ち行列）

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M/M/1モデルとは

M/M/1モデルとは、客がランダムに到着し、窓口（サーバ）1台で1人ずつ処理する、待ち行列理論（＝混雑や行列の長さを数式で扱う理論）の中で最も基本的なモデルです。先に来た客から順に処理する「先着順（FIFO）」で動きます。

身近な例で言うと、銀行のATMやコンビニのレジが1台だけある状況です。客はいつ来るか分からずバラバラに到着し、窓口が空いていればすぐ処理され、ふさがっていれば後ろに並んで待ちます。上のツールで λ（到着の速さ）を上げると、待ち行列に並ぶ人がどんどん増えていく様子が見られます。

コンピュータのサーバへのリクエスト処理やプリンタの印刷ジョブなどは、このモデルに当てはめて待ち時間や行列の長さを計算できます。窓口が1台という単純な前提だからこそ、公式を使えば見通しよく求められます。

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到着率λとサービス率μ

M/M/1モデルを動かす入力は2つだけです。
・到着率 λ（ラムダ）：単位時間あたりに平均何人の客が来るか（例: 1分間に3人 → λ=3）
・サービス率 μ（ミュー）：窓口が単位時間あたりに平均何人を処理できるか（例: 1分間に5人さばける → μ=5）

逆数を取ると時間として読めます。1/λ は「客が来る平均間隔」、1/μ は「1人を処理するのにかかる平均時間」です。λ=3 なら平均20秒に1人来て、μ=5 なら1人を平均12秒で処理する、という具合です。

ここで最重要なのが、両者から計算する利用率 ρ（ロー）= λ/μ です。

ρ = λ / μ

ρ は窓口が稼働している時間の割合を表し、必ず λ < μ（ρ < 1）でなければ系は安定しません。λ ≥ μ だと到着が処理に追いつかず、行列が無限に伸びてしまいます。だから上のツールの λ スライダーは μ 未満に制限されています。

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ケンドール記号の見方

待ち行列モデルは ケンドール記号（A/B/c の形式）で分類されます。M/M/1 という名前自体がこの記号で、3つの記号それぞれに意味があります。

1番目と2番目の M は「Markovian（マルコフ的）」の頭文字で、到着間隔も処理時間も指数分布に従う＝完全にランダムであることを表します。指数分布は「いつ次が起きるか予測できないランダムな現象」を表す確率分布のことです。

つまり M/M/1 ＝「ランダム到着・ランダム処理・窓口1台」と読めます。窓口が複数台なら M/M/3 のように最後の数字が変わります。「M/M/1」であれば、本ページの公式（ρ=λ/μ、Wq=ρ/(μ−λ)、W=1/(μ−λ)）がそのまま使えます。