シンプソンの公式（放物線で数値積分）

各放物線の面積 = (h/3)(f₀ + 4f₁ + f₂)　h = 0.5
パネル1: (h/3)(0 + 4×0.25 + 1) = 0.33333
パネル2: (h/3)(1 + 4×2.25 + 4) = 2.33333
合計 ≈ 2.666667

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シンプソンの公式とは

シンプソンの公式とは、定積分（＝関数のグラフと x 軸で囲まれた面積）を、放物線で近似して数値的に計算する方法です。複雑な関数で「面積をきっちり式で求める」ことが難しいとき、コンピュータで近い値を得るために使います。

身近な例で言うと、でこぼこした土地の面積を測るのに似ています。土地を細かく区切り、各区画を「ゆるくカーブした形（放物線）」で近似して面積を出し、最後に全部足すと、全体のおよその面積が分かります。区切りを細かくするほど、本当の面積に近づきます。

計算式は次のとおりです（区間 [a, b] を 2 つに分けた最も基本の形）。

∫f(x)dx ≈ (h/3)(f(a) + 4f(中) + f(b))

上のツールで分割数 n のスライダーを動かすと、放物線の枚数が変わり、シンプソン近似値が真値（解析解）にどんどん近づいていくのが分かります。誤差の数字に注目してください。

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放物線近似の仕組み

シンプソンの公式のポイントは、関数を「3 つの点を通る放物線」で代用するところにあります。直線（1 次式）ではカーブを表せませんが、放物線（2 次式）なら曲がった部分にぴったり寄り添えるので、近似の精度が高くなります。

手順は次の通りです。
・区間を偶数個に等分：刻み幅を h = (b − a)/n とする（n は偶数）
・3 点ごとに放物線を当てる：両端と真ん中の 3 点 (f₀, f₁, f₂) を通る放物線を作る
・各放物線の面積を足す：1 枚分の面積は (h/3)(f₀ + 4f₁ + f₂)

「4」の意味：真ん中の点 f₁ の係数が 4 と大きいのは、放物線の面積を正しく出すための重み付けです。両端より中央を重視することで、ちょうど放物線の面積に一致します。区間全体ではこの重みが 1, 4, 2, 4, 2, …, 4, 1 と並びます。

例: ∫₀² x² dx（真値 = 8/3 ≈ 2.6667）
n=2, h=1: (1/3)(0 + 4×1 + 4) = 8/3 = 2.6667
→ 2次関数なので放物線で完全一致（誤差0）

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台形公式との比較

数値積分には他にも方法があり、最もシンプルなのが台形公式です。台形公式は各区間を「直線（台形）」で近似します。仕組みは簡単ですが、曲線を直線で代用するため、カーブが強いところで誤差が出やすくなります。

一方シンプソンの公式は放物線で近似するため、同じ分割数でも台形公式よりずっと精度が高いのが特徴です。上のツールの「計算の内訳」で、両者の誤差を見比べてみてください。

まとめ：シンプソンの公式は「放物線で近似」「分割数は偶数」「係数は 1, 4, 2, 4, …, 4, 1」「台形公式より高精度」という特徴を持ちます。3 次式までなら誤差ゼロで積分できる点も、台形公式（1 次式まで）との大きな違いです。