ニュートン法（接線で解に近づく）

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ニュートン法とは

ニュートン法（ニュートン・ラフソン法）とは、方程式 f(x) = 0 の解（＝グラフが x 軸と交わる点）を、接線を使って少しずつ近づけて求める数値計算法です。手では解けない複雑な方程式を、コンピュータで近似的に解くときに使います。

身近な例で言うと、暗い部屋で壁を手探りで探すのに似ています。今いる場所（近似値）から「壁はこっちの方向だ」という手がかり（接線の傾き）をたよりに一歩進み、また手がかりを得て進む…を繰り返すと、だんだん壁（解）に近づきます。たとえば「√2 はいくつか」という問題は、x² − 2 = 0 の解を求めることに置き換えられます。

上のツールで関数を選び、初期値 x₀ をスライダーで決めて、▶ ボタンや「次へ」を押すと、接線が引かれて交点（次の近似値）が求まる様子が反復ごとに見えます。右の表で誤差が一気に小さくなっていくことに注目してください。

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接線を使う仕組み

ニュートン法のアイデアは、「曲線のままだと解きにくいので、その点での接線（まっすぐな線）で代用する」というものです。今いる点 (xₙ, f(xₙ)) で曲線に接する直線（接線）を引き、その接線が x 軸と交わる点を、次のより良い近似値 xₙ₊₁ とします。

接線の傾きは f'(x)（＝微分。その点での傾き）で表されます。接線と x 軸の交点を計算すると、次の式が得られます。

xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ) / f'(xₙ)

計算例: √2 を求める（f(x) = x² − 2、f'(x) = 2x、x₀ = 2）

x₁ = 2 − (4−2)/(2×2) = 2 − 0.5 = 1.5
x₂ = 1.5 − (0.25)/(3) ≈ 1.41667
x₃ ≈ 1.41422（√2 = 1.41421…）
わずか3〜4回で小数6桁まで一致

このように、ニュートン法は収束が非常に速い（2 次収束＝正しい桁数が毎回およそ倍になる）のが大きな特徴です。

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収束しない場合

ニュートン法はとても強力ですが、いつでも解にたどり着くとは限りません。初期値の選び方や関数の形によっては、うまく収束しないことがあります。

収束しない・失敗する代表的なケース:
・傾きが 0 になる（f'(x) = 0）：接線が水平になり x 軸と交わらないため、0 で割る計算になり次の値が求まらない
・初期値が解から遠すぎる：とんでもない方向へ飛んでいき、解から離れてしまう
・振動する：2 点を行ったり来たりして、いつまでも収束しない
・別の解に収束する：解が複数ある関数では、意図しない解に近づくことがある

身近な例で言うと、平らな床の上では「壁はどっち？」という手がかりが得られないのと同じで、傾きがないと進む方向が決まりません。そのため実際のプログラムでは、反復回数の上限を決めたり、収束しなければ別の初期値で試すといった工夫をします。

ニュートン法の要点は「接線を使う」「xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f'(xₙ)」「収束が速い」「f'(x)=0 で破綻する」の4つです。同じ数値計算でも、区間を狭めていく 二分法は遅いが確実、ニュートン法は速いが初期値しだい、という対比も押さえておくとよいでしょう。