組合せ（nCr）

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組合せとは

組合せ（Combination）とは、n 個の要素から r 個を 順序を区別せずに選ぶ場合の数のことです。記号は nCr（または C(n,r)、(n / r)）。読み方は「エヌ シー アール」。

日常の例で言うと、福引でくじを 2 枚引く場面を考えてください。「1 枚目に赤、2 枚目に青」と「1 枚目に青、2 枚目に赤」は、最終的に手元にあるくじは {赤, 青} の組み合わせで同じです。これが「順序を区別しない」という意味。クラスから委員 2 名を選ぶ場合や、ピザのトッピング 3 種を 6 種類から選ぶ場合なども組合せです。

上のツールで n と r をスライダーで変えると、組合せ数（nCr）と全パターンの一覧がリアルタイムで連動します。順列（nPr）も同時に表示されるので、両者の関係が一目で分かります。

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nCr の計算式

組合せの公式は、順列を「並び順の数」で割る形になります。

nCr = n! / (r! × (n−r)!) = nPr ÷ r!

・nPr（順列）は n × (n−1) × … × (n−r+1)。r 個を順番に選んだときの並び方の総数
・選んだ r 個には r! 通りの並び順がある（例: r=3 なら 6 通り）
・順列の数 ÷ 並び順の数 ＝ 組合せの数

具体例: 5C2 を計算

5P2 = 5 × 4 = 20
2! = 2 × 1 = 2
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5C2 = 20 ÷ 2 = 10

覚えておきたい性質:
・nCr = nC(n−r)：選ぶ側と選ばない側は対称（例: 5C2 = 5C3 = 10）
・nC0 = nCn = 1：0 個選ぶ or 全員選ぶは 1 通り
・nC1 = n：1 個だけ選ぶ場合は n 通り

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順列との使い分け

順列と組合せの違いは「順序を区別するかどうか」のたった一点。問題文を読んで、この区別を見抜けるかがカギです。

見分けるキーワード:
・「順番に」「並べる」「1位/2位」「席を決める」 → 順列
・「選ぶ」「グループを作る」「組み合わせる」 → 組合せ
・「並び方が問題か、集まり方が問題か」と自問すれば判別しやすい

身近な例で対比すると、「3 桁の暗証番号」は順列（123 と 321 は別の番号）、「ピザに 3 種のトッピング」は組合せ（チーズ→ハム→ピーマンの順でも、ピーマン→ハム→チーズの順でも、出来上がりは同じピザ）。

文章題で順列か組合せか迷ったら、「並び替えても同じものとみなすか？」と考えてください。